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Karls Spielkiste #10
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Welche Kisten?
Die Zahlenpyramide
Gemeinsame Teiler
Der Turmbau
Die Wechselstube
Schau hin und sag es
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--- Antworten ---
Welche Kisten?:
Gegeben sind 1200 Kisten, wobei die Kisten von 1 bis 1200 durchnummeriert sind (jede Kiste
hat also eine Nummer, die nur einmal vorkommt). Nun sollen die Kisten wie folgt markiert
werden: Zuerst bekommt jede Kiste mit einer Nummer, welche durch “1” ohne Rest teilbar ist
(das sind alle Kisten!) eine Markierung, danach bekommen im 2. Durchgang alle Kisten mit
einer durch “2” teilbaren Nummer eine Markierung, im 3. Durchgang durch “3”, usw. bis
schließlich beim 1200. Durchgang alle Kisten mit einer durch “1200” teilbaren Nummer (also
nur die Kiste mit der Nummer 1200) eine Markierung bekommt.
Wieviele Markierungen hat die Kiste mit der Nummer:
a) 1200?
b) 1080?
c) Wieviele Kisten haben eine ungerade Anzahl von Markierungen?
d) Welche Kisten sind das?
Welche Kisten haben genau:
e) 1 Markierung?
f) 2 Markierungen?
g) 3 Markierungen?
h) 4 Markierungen?
i) 5 Markierungen?
j) 6 Markierungen?
Die Zahlenpyramide:
Gegeben sei eine Reihe von 6 Zahlen kleiner 10. Eine zweite Reihe wird gebildet, indem jeweils
über zwei benachbarten Zahlen die Summe dieser beiden Zahlen geschrieben wird, wobei von
der Summe jeweils 9 abgezogen wird, falls diese größer als 9 ist. Nach dieser Regel wird nun
immer wieder eine neue Reihe gebildet, bis nur noch eine Summe oben steht.
Für die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 sieht dies folgendermaßen aus:
4
3 1
2 1 9
8 3 7 2
3 5 7 9 2
1 2 3 4 5 6
a) Wie kann mit einer einzigen Rechnung die letzte Summe ermittelt werden?
b) Wie kann die letzte Summe bei 10 Ausgangszahlen berechnet werden?
Gemeinsame Teiler:
Wie viele der natürlichen Zahlen von 1 bis 1200 haben mit der Zahl 1200 gemeinsame Teiler,
wobei die Zahl 1 nicht als Teiler beachtet werden soll?
Der Turmbau:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Turm von 9m Höhe aus den Teilstücken zu 1m, 2m, 3m,
4m, 5m und 6m zu bauen, wobei jedes Teilstück nur einmal verwendet werden darf?
Antwort: 5 Möglichkeiten: 6,3; 6,2,1; 5,4; 5,3,1 und 4,3,2.
a) Wie hoch ist der höchste Turm, der aus den Teilstücken gebaut werden kann?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen 10m (8m) hohen Turm zu bauen?
c) Wie viele Türme der Höhe 10m (9m, 8m) kann man bauen, wenn das Teilstück zu 4m fehlt?
d) Wie viele Türme der Höhe 12m lassen sich aus den Teilstücken 1m, 2m, 4m und 8m bauen?
Die Wechselstube:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, um 11 Euro zu wechseln, wenn jeweils eine beliebige Anzahl
von 1EUR, 2EUR, 5EUR und 10EUR-Münzen zur Verfügung stehen?
Antwort: 12 Möglichkeiten: 10,1; 5,5,1; 5,2,2,2; 5,2,2,1,1; 5,2,1,1,1,1; 5,1,1,1,1,1,1; 2,2,2,2,2,1;
2,2,2,2,1,1,1; 2,2,2,1,1,1,1,1; 2,2,1,1,1,1,1,1,1; 2,1,1,1,1,1,1,1,1,1; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, um 12 Euro zu wechseln?
Schau hin und sag es:
Wie lautet die nächste Zahl: 1, 11, 21, 1211, 111221, ... ?
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Münzen (1, 2, 5 und 10EUR) auf 2 Sparschweine zu ver-
telen? Antwort: 7: 1,2,5-10; 1,2,10-5; 1,5,10-2; 2,5,10-1; 1,2-5,10; 1,5-2,10; 1,10-2,5
Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 4 Münzen auf 3 Sparschweine zu verteilen?
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Welche Kisten?
a) 30
b) 32
c) 34
d) alle Kisten mit den Nummern von 12, 22, 32 ... 342
e) nur Kiste mit Nummer “1”
f) Alle Kisten mit einer Primzahl p als Nummer
g) Alle Kisten mit dem Quadrat einer Primzahl p2 als Nummer
h) Alle Nummern der Form p1*p2 und p3 (p,p1 und p2 seien verschiedene Primzahlen)
i) Alle Nummern der Form p4
j) Alle Nummern der Form p1*p2 und p5
Die Anzahl der Markierungen auf einer Kiste entspricht der Anzahl von Teilern der Nummer
auf dieser Kiste. Teilt man eine Zahl durch einen ihrer Teiler, so erhält man immer einen neuen
Teiler dieser Zahl. Die Teiler einer Zahl treten also paarweise auf. Teilt man nun das Quadrat
einer Zahl durch deren Quadratwurzel, so entseht kein neuer Teiler; deswegen ist die Anzahl
der Teiler einer Quadratzahl stets ungerade.
Hat eine Zahl die Primfaktorenzerlegung: pa*pb*pc*... (p sind verschiedene Primzahlen), so hat
diese Zahl genau (a+1)*(b+1)*(c+1)* ... Teiler. (z.B. hat 12 = 22*3 genau (2+1)*(1+1) = 6 Teiler)
So hat jede Kiste mit 3 Markierungen eine Nummer der Form p2, da die Anzahl der Teiler =
(2+1) = 3 ist. Genau 4 Markierungen erhält man mit (1+1)*(1+1) oder mit (3+1) Teilern; dies
enspricht einer Nummer der Form p*p oder p3. Genau 5 Markierungen erhält man mit (4+1)
Teilern; dies entspricht einer Nummer der Form p4. Genau 6 Markierungen: mit (1+1)*(2+1)
oder (5+1) Teilern.
Die Zahlenpyramide
a) Die Formel lautet: S = (1*Z1 + 5*Z2 + 10*Z3 + 10*Z4 + 5*Z5 + 1*Z6 ) mod 9
Die Faktoren erhält man aus der 6. Reihe des Pascal´schen Dreiecks.
b) S = (1*Z1 + 3*Z4 + 3*Z7 + 1*Z10) mod 9 (entspricht der 10. Reihe mod 9)
Gemeinsame Teiler
880 Zahlen.
Die Zahl 1200 hat die Primfaktoren: 2,3 und 5.
Den Teiler 2 haben 1200/2 = 600 Zahlen gemeinsam, den Teiler 3 haben 1200/3 = 400 Zahlen
gemeinsam und den Teiler 5 1200/5 = 240 Zahlen.
Das ergäbe insgesamt 1240 Zahlen (?).
Jedoch wurden die Teiler 6 (2*3), 10 (2*5) und 15 (3*5) doppelt gezählt; die Anzahl dieser
Zahlen muß also wieder abgezogen werden: 1200/6 + 1200/10 + 1200/15 = 400 Zahlen.
Jetzt wurden aber die Zahlen mit dem Teiler 30 (2*3*5) zuviel abgezogen; es müssen also
wieder 1200/30 = 40 Zahlen addiert werden:
-> 1240 - 400 + 40 = 880 Zahlen.
Allgemein: Die Anzahl der Elemente mit der Eigenschaft A, B oder C lautet:
|A v B v C| = |A| + |B| + |C| - |A ^ B| - |A ^ C| - |B ^ C| + |A ^ B ^ C|.
Der Turmbau
a) 21m
b) 5 (4) Möglichkeiten
c) 2 (3,3) Möglichkeiten
d) Nur eine Möglichkeit für jede erreichbare Höhe von 1m bis 15m!
-> Eindeutigkeit der binären Zahlendarstellung!
Allgemein gilt: Sind die Teilstücke a,b,c, ..., n verfügbar, so liefert das Produkt
P = (1+xa)*(1+xb)*(1+xc)* ... *(1+xn) beim Ausmultiplizieren die Koeffizienten
1 +A*xa + B*xb + C*xc + ... + N*xn + .... Die Koeffizienten A,B,C, ... ,N, ... sind dabei die
Anzahl der Möglichkeiten aus den Teilstücken einen Turm der Höhe von a,b,c, ... ,n, ... zu
bauen. Beispiel: Aus den Teilstücken: 1,2,3 lassen sich (1+x)*(1+x2)*(1+x3) =
1 + 1*x + 1*x2 + 2*x3 + 1*x4 + 1*x5 + 1*x6 -> es lassen sich 2 Türme mit der Höhe 3 bauen
und jeweils nur 1 Turm mit den Höhen 1, 2, 4, 5 und 6 bauen!
Die Wechselstube
15 Möglichkeiten!
Allgemein gilt: Sind die Münzen a,b,c, ... ,n verfügbar, so liefert das Produkt
P = (1/(1-xa))*(1/(1-xb))*(1/(1-xc))* ... *(1/(1-xn)) beim Ausmultiplizieren die Koeffizienten
1 +A*xa + B*xb + C*xc + ... + N*xn + .... Der Koefizient N stellt dabei die Anzahl der Wechsel-
möglichkeiten der Summe n dar.
Einfacher geht es mit Rekursionsformeln (obiges Beispiel):
a0=1; a1=1; ak=ak-2+1 für k>1;
b0=a0; b1=a1; ... b4=a4; bk=bk-5+ak für k>4;
c0=b0; c1=b1; ... c9=b9; ck=ck-10+bk für k>9;
alle ck geben dabei die Möglichkeiten des Wechselns der Summe k an.
Schau hin und sag es
Die nächste Zahl lautet: 312211 (3mal die 1, 2mal die 2, 1mal die 1)
Die übernächste Zahl: 13112221
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6 Möglichkeiten: 1,2-5-10; 1,5-2-10; 1,10-2-5; 2,5-1-10; 2,10-1-5; 5,10-1-2
Allgemein gilt: Ist n die Anzahl der Elemente und r die Anzahl der Teilmengen, so ist
S(0,0)=1; S(n,0)=S(0,r)=0; S(n+1,r)=S(n,r-1)+r*S(n,r), wobei S(n,r) die Anzahl der Möglich-
keiten angeben (auch unter dem Namen Stirling-Zahlen 2. Art bekannt).
Insgesamt gibt es 15 = Summe (r=1..n) S(n,r) Möglichkeiten: es fehlen noch die Aufteilung
in einer Menge (1,2,5,10) und in 4 Mengen (1-2-5-10). Diese Summe heißt Bell-Zahl von n.
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