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Karls Spielkiste #11
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Das Langfordsche Problem
Würfelwahrscheinlichkeiten
Die holländische Versteigerung
Wieviele Kinder?
Die falschen Umschläge
Die drei Münzen
Nocheinmal Münzen
Wieviele Äpfel?
Zehn Kinder
Das unterbrochene Austeilen
--- Antworten ---
Das Langfordsche Problem:
Wie müssen die 6 Zahlen: 1,1,2,2,3,3 angeordnet werden, damit sich zwischen jedem Paar
gleicher Zahlen genau so viele Zahlen befinden, wie das Zahlenpaar angibt?
Lösung: 312132 (zwischen den beiden `1´ befindet sich 1 Zahl, usw)
Wie müssen dann die 8 Zahlen: 1,1,2,2,3,3,4,4 entsprechend der oberen Regel angeordnet
werden?
Würfelwahrscheinlichkeiten:
Es wird mit zwei Würfeln geworfen. Was ist wahrscheinlicher?
a) die Summe 8 oder die Summe 7 zu würfeln?
b) die Summe 6 oder die Summe 7 zu würfeln?
c) die Summe 6 und die Summe 8 oder zweimal die Summe 7 zu würfeln?
d) zuerst die Summe 6, danach die Summe 8 oder zweimal die Summe 7 zu würfeln?
e) Wie müssen zwei Würfel mit Augen (auch “keine” Augen erlaubt) belegt werden, so daß mit
der jeweils gleichen Wahrscheinlichkeit die Summen von 1 bis 12 gewürfelt werden können?
Die holländische Versteigerung:
Bei der holländischen Versteigerung gibt jeder Mitbieter genau ein geheimes Gebot ab.
Zuschlag erhält dann der Bieter mit dem höchsten Gebot, wobei er jedoch nur den Betrag
des zweithöchsten Gebot bezahlen muß. Bei den 3 Geboten von 10, 20 und 35 Euro bekäme
also der Bieter mit 35 Euro den ersteigerten Gegenstand für 20 Euro. Warum ist diese Form
der Versteigerung gerecht?
Wieviele Kinder?:
In einem Dorf mit 600 Familien haben genau 13% der Familien ein Kind. Von den
restlichen 87% der Familien hat die eine Hälfte 2 Kinder und die andere Hälfte gar keine
Kinder. Wie viele Kinder gibt es in diesem Dorf?
Die falschen Umschläge:
Jemand steckt willkürlich 5 Briefe in 5 Briefumschläge. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
daß genau 4 Briefe im richtigen Umschlag gelandet sind?
Die drei Münzen:
Drei Münzen werden so auf einen Tisch gelegt, daß nicht alle “Kopf” und nicht alle “Zahl”
zeigen. Ein Mitspieler, welcher die drei Münzen nicht sehen darf, muß durch Anweisungen,
eine bestimmte (links, mitte, rechts) Münze umzudrehen, erreichen, daß alle Münzen das
gleiche Symbol (“Kopf” oder “Zahl”) zeigen.
Wie lautet die optimale Strategie, um mit möglichst wenigen Anweisungen das oben genannte
Ziel zu erreichen und wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit dafür?
Wie lautet die optimale Strategie, wenn die Kombination “Kopf”,”Kopf”,”Kopf” erreicht
werden muß?
Nocheinmal Münzen:
Durch das Umdrehen jeweils einer Münze lassen sich alle möglichen Kombinationen aus
“Kopf” und “Zahl” von drei Münzen erreichen. Ausgehend von der Kombination “KKK”
kann man in genau 7 (=23-1) Zügen jede Kombination genau einmal erreichen, bis letztendlich
die Kombination ”ZZZ” erreicht wird: KKK, KKZ, KZZ, KZK, ZZK, ZKK, ZKZ, ZZZ.
Warum kann man nicht in 15 (=24-1) Zügen alle Kombinationen aus vier Münzen erreichen?
Warum kann man aber in 31 (=25-1) Zügen alle Kombinationen aus fünf Münzen erreichen?
Wieviele Äpfel?:
Wenn man aus einem Korb mit 12 Äpfeln genau zwei Äpfel herausnimmt, wie viele Äpfel hat
man dann?
Zehn Kinder:
Wenn sich zehn unterschiedlich große Kinder in beliebiger Reihenfolge in eine Reihe stellen,
so stehen dabei immer mindestens 4 Kinder so, daß sie eine steigende oder fallende Folge
bilden. Stehen die Kinder z.B. in der Folge: 4710932586, so bildet 0258 eine steigende Folge;
vertauscht man 8 mit 6 (4710932568), so entsteht die steigende Folge 2568.
Warum ist das so? Wie sieht die Sache bei 17 Kindern aus?
Das unterbrochene Austeilen:
Beim Austeilen von Karten an 4 Mitspielern wird der Geber kurz unterbrochen. Danach kann
sich niemand mehr daran erinnern, wer die letzte Karte bekommen hat. Wie kann der Geber,
ohne irgendwelche Karten zu zählen, sicherstellen, daß jeder der Mitspieler genau die Karten
bekommt, die er auch ohne die Unterbrechung bekommen hätte?
---Antworen---
Das Langfordsche Problem
41312432 (N=4) Es gibt nur Lösungen für N=4*n-1 und N=4*n (n>=1) Zahlenpaare,
dh. N=3,4,7,8,11,12, ...
Dürfen sich zwischen dem Zahlenpaar `k´ nur k-1 Zahlen befinden, so gibt es nur Lösungen
für N=4*n und N=4*n+1 Zahlenpaare. (N=4: 11423243 oder 11342324 oder 41134232)
Würfelwahrscheinlichkeiten
a) die Summe 7
b) die Summe 7
c) die Summen 6 und 8 (!)
d) die Summe 7
e) 1,2,3,4,5,6 und 0,0,0,6,6,6
Die holländische Versteigerung
Der Bieter mit dem höchsten Gebot muß nicht mehr bezahlen, als sein nächster Konkurrent
bezahlen würde. Stehen mehrere (N) Gegenstände vom gleichen Wert zur Versteigerung, so
müssen die Bieter mit den N höchsten Geboten so viel bezahlen, wie der Bieter mit dem
höchsten Gebot, welcher keinen Zuschlag erhalten hat, geboten hat.
Wieviele Kinder?
Da jede Familie im Durchschnitt genau ein Kind hat, gibt es genau 600 Kinder in diesem Dorf.
Die falschen Umschläge
0%. Wenn genau 4 Briefe im richtigen Umschlag sind, so muß auch der 5. Brief im richtigen
Umschlag sein.
Die drei Münzen
Die optimal Strategie lautet: Beliebige Münze, danach eine andere Münze und danach wieder
die erste Münze umdrehen lassen. Die Wahrscheinlichkeit für 3 gleiche Symbole beträgt bei
dieser Vorgehensweise 66.67% (33.33% bei der 1. und 50% bei der 2. Anweisung).
Soll die Kombination “Kopf”,”Kopf”,”Kopf” erreicht werden, so müssen alle Münzen so
umgedreht werden, daß die gleiche Anordnung der Münzen jeweils nur einmal erreicht wird.
Mit dieser Strategie erreicht man das Ziel sicher nach 7 Anweisungen. Eine geeignete
Strategie wäre: l(inke), m(ittlere), r(echte), m, l, m, r Münze umdrehen lassen.
Nocheinmal Münzen
Da es zu n Münzen immer 2n Kombinationen aus “Kopf” und “Zahl” gibt, ist die Anzahl
der möglichen Kombinationen immer gerade. Da immer 2n -1 Züge nötig sind, um alle
Kombinationen zu erreichen, ist die Anzahl der nötigen Züge immer ungreade.
Das Umdrehen einer Münzen verändert jeweils die Parität der Anzahl von “Zahl”, dh. jeder
Zug verändert die Anzahl von “Zahl” von ungerade zu gerade und umgekehrt. Da die Anzahl
der Züge immer ungerade ist, müssen Anfangs- und Endkombination eine unterschiedliche
Parität von “Zahl” haben. Dies ist nur bei einer ungeraden Anzahl von Münzen gegeben.
Wieviele Äpfel?
2 Äpfel (in der Hand! :)
Zehn Kinder
Bei N Kindern stehen immer mindestens k= wurzel(N) (aufgerundet auf die nächste ganze
Zahl) Kinder in einer steigenden oder fallenden Folge. Betrachtet man die max. Anzahl von
Kindern, welche eine (s)teigende Folge zum rechten Ende der Reihe und die max. Anzahl,
welche eine (f)allende Folge zum rechten Rand der Reihe bilden können, so gibt es jede
Kombination aus (s) und (f) nur ein einziges Mal für je ein Kind. Beschränkt man die Anzahl
von Kindern in (s)teigender oder (f)allender Folge auf k, so gibt es genau k*k verschiedene
Kombinationen aus (s) und (f). Da es jede Kombination nur einmal gibt, ist k die kleinste
Zahl, bei welcher k2 größer oder gleich der Anzahl der Kinder (N) in einer Reihe ist.
Das unterbrochene Austeilen
Der Geber gibt sich selbst die unterste Karte und verteilt die restlichen Karten von unten
in umgekehrter Reihenfolge an die Mitspieler.
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