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Karls Spielkiste #12
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Wer hat welche Münze?
Welche Kugel ist im Sack?
Magische Zahlen
Wie lautet das Gesetz?
Wer gewinnt das Spiel?
Am rundem Tisch
Koalitionen
Die fünf Pizzen
--- Antworten ---
Wer hat welche Münze?:
Auf einem Tisch liegen 24 Streichhölzer und 3 Münzen (1, 2 und eine 5 Euro-Münze). Aus den
Zuschauern werden 3 Mitspieler ausgewählt, wobei der 1. 1 Streichholz, der 2. 2 Streichhölzer
und der 3. 3 Streichhölzer bekommt. Nun darf der Reihe nach jeder der Mitspieler, ohne daß
der Vortragende zusieht, eine beliebige Münze auswählen. Derjenige, welcher die 1 Euro-
Münze gewählt hat, soll die gleiche Anzahl von Streichhölzern, die er vorher bekommen hat,
nocheimal an sich nehmen; die doppelte Anzahl soll derjenige an sich nehmen, welcher die
2 Euro-Münze gewählt hat und das Vierfache, wer die 5 Euro-Münze gewählt hat. Aus den
verbleibenden Streichhölzern kann man nun ermitteln, wer welche Münze gewählt hat.
Wie geht das?
Welche Kugel ist im Sack?:
In einem Sack befindet sich entweder eine weiße oder eine schwarze Kugel. Dazu wird eine
weiße Kugel hinein gelegt und der Sack ordentlich geschüttelt. Danach wird eine Kugel
gezogen, welche die Farbe weiß hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann auch die zweite
Kugel weiß?
Magische Zahlen:
Die einfachste magische Zahl lautet: 142857. Multipliziert man diese Zahl mit einer Zahl von
1 bis 6, so hat das Produkt jeweils die Zahlen in der gleichen Reihenfolge; nur die Start- und
Endzahlen verändern sich. Dies ist so, weil die Periodenlänge von 1/7 = 0.142857 142857 ...
genau sechs Zahlen beträgt. Allgemein: Ist p eine Primzahl und hat 1/p genau die Perioden-
länge p-1, so ergeben die ersten p-1 Stellen (zugleich die längst mögliche Periodenlänge) von
1/p eine magische Zahl. Gibt es noch weitere magische Zahlen?
Wie lautet das Gesetz?:
Markiert man auf einem Kreis 3 Punkte und verbindet man jeweils alle Paare aus 2 Punkten
miteinander, so ergeben sich max. 4 Gebiete innerhalb des Kreises. Bei 4 Punkten ergeben
sich mit dieser Methode max. 8 getrennte Gebiete. Bei 2 Punkten ergeben sich 2 Gebiete.
Es ergeben also:
Punkte Gebiete
2 2
3 4
4 8
Wie viele Gebiete ergeben sich bei 5 (6) Punkten? Wie lautet das allgemeine Gesetz?
Wer gewinnt das Spiel?:
Gegeben ist ein Haufen aus 100 Münzen. Zwei Spieler nehmen nun abwechselnd mindestens
eine und höchstens doppelt so viele Münzen, wie der Gegenspieler davor, vom Haufen. Der
erste Spieler darf beim ersten Zug nicht den gesammten Haufen wegnehmen. Wer keine
Münze mehr zum Wegnehmen vorfindet, hat verloren. Wie lautet die optimale Spielstrategie?
Am rundem Tisch:
Auf einem runden Tisch stehen 12 Tischkarten. Die dazugehörigen 12 Personen sitzen sich
jedoch so an den Tisch, daß keiner von ihnen am zugedachten Platz landet. Dazu meint der
Gastgeber: “Egal, wie ihr gerade sitzt, kann der Tisch immer so gedreht werden, daß
mindestens zwei von euch am richtigen Platz sitzen!” Hat der Gastgeber recht?
Koalitionen:
3 Abgeordnete sollen 12.000 Euro unter sich aufteilen, wobei die Teilung durch einen
Mehrheitsbeschluß festgelegt werden soll. Bilden nun 2 Abgeordnete eine Koalition und
entscheiden, die 12.000 Euro gerecht unter sich aufzuteilen, kann der 3. Abgeordnete einem
der beiden anderen Abgeordneten 7000 Euro anbieten und sich selbst mit 5000 Euro zu
begnügen (was immerhin mehr als gar nichts wäre). Der angesprochene Abgeordnete könnte
nun auch 8000 Euro fordern, da 4000 Euro für den anderen immer noch besser als gar nichts
wäre. Jetzt kann der Ausgeschlossene wieder ein Angebot machen und sich mit 3000 Euro
zufrieden geben oder aber dem anderen etwas mehr als 4000 Euro bieten. Dies läßt sich
beliebig weiterführen. Was wäre die beste Strategie für einen Abgeordneten, um einen
maximalen Betrag zu bekommen?
Die fünf Pizzen:
In einem Backofen, in welchem Platz für 4 Pizzen sind, sollen 5 Pizzen gebacken werden. Wenn
der Backofen 5 Minuten in Betrieb war und jede Pizza gleich lang im Backofen war (wobei die
Pizzen durchgewechselt wurden), wie lange war dann jede Pizza insgesamt im Backofen?
--- Antworten ---
Wer hat welche Münze?
Für jede Kombination von Mitspielern (M1, M2 und M3) und den gewählten Münzen
(1, 2 und 5 Euro-Münze) bleibt ein anderer Restbetrag von Streichhölzern übrig:
rest M1 M2 M3 (der Rest 4 kommt bei keiner Kombination vor!)
1 1 2 5 24 - 6 (1+2+3) - 3*4 - 2*2 - 1*1 = rest 1.
2 2 1 5
3 1 5 2
5 2 5 1
6 5 1 2
7 5 2 1
Welche Kugel ist im Sack?
66.67 %. Es gibt drei Möglichkeiten: (S)chwarz, (W)eiß, 1: vorher im Sack, 2: dazugelegt
im Sack gezogen
S1 W2
W1 W2
W2 W1
Magische Zahlen
Ja. Es gibt (vermutlich) unendlich viele davon. Folgende Primzahlen ergeben magische
Zahlen: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, ..., 17389, ..., 1370471, ...
Multipliziert man eine magissche Zahl mit der erzeugenden Primzahl, so besteht das Produkt
nur aus Neuen.
Wie lautet das Gesetz?
Bei 5 Punkten ergeben sich 16 Gebiete. Bei 6 Punkten ergeben sich aber nur 31 Gebiete!
Das allgemeine Gesetz lautet nicht: G = 2(p-1), sondern: G = (p4 - 6p3 + 23p2 - 18p + 24)/24.
Punkte: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gebiete: 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256 386 562
Wer gewinnt das Spiel?
Der erste Spieler kann gewinnen, wenn der dem Gegenspieler stets eine Fibonacci-Zahl als
Anzahl von Münzen hinterläßt. Fibonacci-Zahlen unter 100 sind: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
(eine Fibonacci-Zahl ist immer die Summe aus den letzten beiden Zahlen; die ersten beiden
Zahlen sind 1,1).
Am rundem Tisch
Ja, der Gastgeber hat recht! Beweis: Da jede Person falsch sitzt, ist es durch Drehen des
Tisches immer möglich, eine bestimmte Person an den richtigen Platz zu bringen. Es gibt aber
nur 11 andere Positionen am Tisch, wo 12 Personen sitzen sollen. Verteilt man diese 12
Personen auf die 11 möglichen Plätze, so müssen mindestens 2 davon am richtigem Platz
sitzen (nach dem Schubfachprinzip: Verteilt man n Gegenstände auf n-1 Schubladen, so
müssen sich in mindestens einer Schublade zwei Gegenstände befinden).
Schwieriger ist der Beweis, wenn bereits eine Person richtig sitzt. :)
Koalitionen
Die beste Strategie ist es, einen Halbe-Halbe Vorschlag sofort ohne weitere Verhandlungen
anzunehmen. Falls man ein besseres Angebot bekommt, kann eine Verschwörung der anderen
beiden sehr gefährlich werden.
Die fünf Pizzen
4 Minuten. (5 Minuten * 4 Pizzen / 5 Pizzen)
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