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Karls Spielkiste #13
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Die Kartenauslage
Eine geheimnisvolle Zahl
Das Überqueren einer Brücke
Verteiltes Sortieren
Zehn Zahlen kleiner als 100
Die bulgarische Patience
Umverteilung
Der optimale Treffpunkt
Eine große Aufgabe
--- Antworten ---
Die Kartenauslage:
Zu einer Kartenauslage aus 3 Reihen zu je 3 Karten sollen 3 Karten so dazu gelegt werden,
daß danach in jeder Reihe und jeder Spalte 4 Karten liegen. Wie geht das?
Eine geheimnisvolle Zahl
Führe folgende Schritte aus:
1. Wähle eine beliebige 4-stellige Zahl (z.B.: 3781)
2. Bilde aus den 4 Ziffern dieser Zahl die größt- und kleinstmögliche Zahl (8731, 1378)
3. Bilde die Differenz aus der größeren und kleineren Zahl (8731 - 1378 = 7353)
4. Gehe mit dieser Differenz zu Punkt 2.
Diese Prozedur führt in den allermeisten Fällen auf die gleiche Zahl.
a) auf welche Zahl?
b) Warum ist das so?
c) wieviele Schritte sind dazu maximal notwendig?
d) bei welchen Zahlen kommt man auf eine andere Zahl?
e) Wie lautet diese andere Zahl?
f) Wie sieht die Sache bei 3-stelligen Zahlen aus?
g) bei 5-stelligen Zahlen?
Das Überqueren einer Brücke:
An einer Brücke steht folgendes Schild:
Das Überqueren dieser Brücke kostet 24 Euro. Nach dem Überqueren dieser Brücke wird
der Geldbetrag, den man bei sich hat, verdoppelt!
Ein Wanderer probiert es aus und geht genau 3 mal über die Brücke, bis er bemerkt, daß sein
gesamtes Geld weg ist. Wieviel Geld hatte er dabei, wenn die Anweisungen auf dem Schild
genau befolgt wurden?
Verteiltes Sortieren:
Gegeben sei eine Matrix aus 5x5 beliebigen Zahlen. Ordnet man zuerst alle Zeilen so, daß
jeweils alle Zahlen einer Zeile in einer geordneten Folge stehen und danach alle Spalten so,
daß jeweils alle Zahlen einer Spalte eine geordnete Folge bilden, so bleiben die Zahlen
einer Zeile trotz der Umordnung von Zahlen in einer Spalte immer geordnet.
Beispiel: alle Zeilen sortiert: danach alle Spalten sortiert:
12 34 66 32 18 12 18 32 34 66 8 13 31 34 45
35 87 99 22 76 22 35 76 87 99 12 18 32 44 66
14 27 65 36 77 14 27 36 65 77 14 27 36 65 77
98 96 8 31 13 8 13 31 96 98 22 35 43 87 98
45 44 43 42 41 41 42 43 44 45 41 42 76 96 99
Die letzte Matrix ist sowohl zeilen- als auch spaltenweise geordnet!
Warum ist das so?
Zehn Zahlen kleiner als 100:
Wählt man beliebig zehn verschiedene ganze, positive Zahlen unter 100, so gibt es immer
mindestens eine Summe, die auf zweierle Arten aus beliebigen Zahlen der zehn Zahlen
gebildet werden kann. So kann zum Beispiel aus den 10 Zahlen: 2,12,23,34,45,55,59,61,62,80
die Summe 57 auf zweierle Arten bilden: 23+34 und 2+55.
Warum ist das so?
Die bulgarische Patience:
Einem Kartenspiel werden 45 Karten entnommen. Diese 45 Karten werden in beliebig viele
Stapel aufgeteilt. Nun wird jeweils die oberste Karte von allen Stapeln eingesammelt und
diese Karten als ein neuer Stapel zu den übrigen Stapeln gelegt.
Wiederholt man diese Prozedur genügend oft, so ergeben sich irgendwann immer genau 9
Stapel mit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 Karten, wobei die Anfangsverteilung der Karten egal ist.
Warum ist das so?
Umverteilung:
Ein König verkündet folgende Verlautbarung: Das Vermögen meiner 5 Minister soll so um-
verteilt werden, daß jeweils zwei in der Reihenfolge ihrer Vermögen nebeneinander liegende
Minister ihre Vermögen zusammenlegen und danach zu gleichen Teilen unter sich aufteilen.
Die Aufteilung soll in der Reihenfolge der Vermögen erfolgen. Auf die Frage, wer damit
anfangen soll (die beiden reichsten oder ärmsten Minister) antwortet der König: Der reichste
und der ärmste Minister sollen dies gemeinsam entscheiden.
Welche Reihenfolge wäre am besten:
a) für den reichsten Minister?
b) für den ärmsten Minister?
c) für den Minister in der Mitte der Reihenfolge der Vermögen?
Der optimale Treffpunkt:
a) 5 Ingenieure aus Augsburg und 4 Dozenten aus Berlin wollen sich treffen. In welcher Stadt
sollte dieses Treffen stattfinden, wenn die Reisekosten (von 1 Euro/km) insgesamt so
klein wie möglich sein sollen?
b) 5 Freunde wohnen in der gleichen Straße in den Hausnummern: 3, 13, 27, 29, 157.
Die Abstände der einzelnen Häuser sind:
(3) - 110 m - (13) - 150 m - (27) - 12 m - (29) - 1045 m - (157)
Ein 6. Freund möchte jetzt auch in diese Straße ziehen. In welcher Entfernung zu Haus-
nummer 3 sollte er sich eine Wohnung suchen, wenn die Summe der Entfernungen zu
seinen Freunden möglichst gering sein soll?
c) Nun zieht der Freund aus Nr. 3 in eine andere Stadt. Wohin muß jetzt der 6. Freund um-
ziehen, wenn die Summe der Entfernungen zu den übrigen Freunden dieser Straße wieder
möglichst klein sein soll?
Eine große Aufgabe:
Ein Behälter mit einer bestimmten (endlichen) Anzahl von Kugeln soll geleert werden. Jede
dieser Kugeln ist mit einer positiven, ganzen Zahl beschriftet. Nimmt man eine Kugel aus dem
Behälter, so kann man dafür wieder beliebig (endlich) viele Kugeln mit kleineren Ziffern in den
Behälter zurücklegen. Eine Kugel mit der Ziffer 1 kann nicht mehr durch andere Kugeln
ersetzt werden. Wie kann man erreichen, daß der Behälter irgendwann einmal leer wird?
--- Antworten ---
Die Kartenauslage:
Man lege die 3 Karten auf die 3 Karten einer Diagonalen der Auslage:
K K KK
K KK K
KK K K
Nun liegen in jeder Reihe und Spalte genau 4 Karten!
Eine geheimnisvolle Zahl:
a) 6174
b) als Differenzen entstehen immer nur ganz bestimmte Zahlen!
c) maximal 7 Schritte (ausprobieren)
d) 0000, 1111, 2222, ..., 9999
e) 0
f) die 3-stellige geheimnisvolle Zahl lautet: 495
g) die Prozedur führt immer wieder auf eine Schleife von 4 Zahlen, welche aber von der
Anfangszahl abhängig sind.
Das Überqueren einer Brücke:
42 Euro. Tip: Rückwärtsrechnen: Vor der letzten Überquerung waren es genau 24 Euro.
Verteiltes Sortieren:
Das ist eine spezielle Sortiermethode namens `Shellsort´.
Zehn Zahlen kleiner als 100:
Mit zehn Zahlen kleiner als 100 sind insgesamt nur 945 verschiedene Summen möglich
(das ist die Summe der zehn höchsten Zahlen: 90+91+...+99). Aus 10 Zahlen lassen sich
aber genau 210 - 1 = 2023 verschiedene Teilmengen (ohne die leere Menge) bilden, die
alle unterschiedliche Summen haben. Da es mehr Teilmengen als mögliche Summen gibt,
müssen mehrere Summen öfters vorkommen.
Die bulgarische Patience:
Weil 45 eine Dreieckszahl ist (die Summe aus 1+2+3+4+5+6+7+8+9).
Diese Patience funktioniert mit allen Dreieckszahlen Z(n) = n*(n+1)/2
Umverteilung:
a) die beiden reichsten fangen damit an!
b) ebenso die beiden reichsten!
c) die beiden ärmsten beginnen!
Für den reichsten Minister ist es besser, wenn der nächstreichere noch nicht geteilt hat;
für den ärmsten Minister ist es besser, wenn der zweitärmste davor bereits geteilt hat.
Für alle anderen ist es besser, wenn zuerst die beiden ärmsten Minister teilen.
Der optimale Treffpunkt:
a) In Augsburg!
b) 260 m (genau in Hausnummer 27)
c) Ein Umzug ist nicht notwendig! (Nr. 29 wäre genauso optimal)
Der mittlere Wert ist der kleinstmögliche Wert der Summe aller Abstände; der arithmetische
Mittelwert ist jedoch der kleinstmögliche Wert der Summen aller Abstände im Quadrat.
Eine große Aufgabe:
Der Behälter wird auf jeden Fall leer, da jede Kugel irgendwann einmal entnommen wird.
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