|
Karls Spielkiste #6
Zurück
Rabatt und Mehrwertsteuer
Wieviel Personen?
Wieviel Erde?
Welcher Anteil?
Das Paradoxon vom ersten Zug
Anonyme Umfragen
Das Würfelexperiment
Einsparung von Untersuchungen
Die zweite Streichholzschachtel
Punkte und Kreise
Größte bekannte Primzahl
Dynamische Optimierung
---Antworten ---
Rabatt und Mehrwertsteuer:
Sie wollen ein Auto kaufen und bekommen dabei 20% Rabatt, müssen aber auch noch 16%
Mehrwertsteuer zahlen.
a) Was ist günstiger:
Zuerst die Mwst. bezahlen und auf diese Summe den Rabatt zu bekommen
oder zuerst den Rabatt abziehen und auf diesen Betrag die Mwst. aufzuschlagen?
b) Wie sieht die Sache aus, wenn sie 16% Rabatt bekommen und 20% Mwst. zahlen müssen?
Wieviel Personen?
Ein Mann ist auf dem Weg nach Jerusalem. Ihm entgegen kommen 7 Frauen. Jede Frau hat 4
Diener dabei. Jeder Diener wird von 3 Kindern begleitet. Jedes Kind hat einen Hund und eine
Katze bei sich. Jede Katze hat eine Maus im Maul. Wieviel Personen und Tiere sind auf dem
Weg nach Jerusalem?
Wieviel Erde?
Wieviel m3 Erde befinden sich in einem Loch von 5m Länge, 3m Breite und 2m Tiefe?
Welcher Anteil?
Um welchen Anteil ist die Zahl 4/4 größer als die Zahl 3/4?
Das Paradoxon vom ersten Zug:
Gegeben sei eine Urne mit 9 weißen und einer schwarzen Kugel. Zwei Spieler ziehen nun
abwechselnd je eine Kugel aus der Urne. Wer die schwarze Kugel zieht, hat gewonnen.
Nun hat der Spieler, welcher als erster ziehen darf, ganz klar einen Vorteil.
Was ist für den Spieler, welcher als zweiter ziehen darf, günstiger:
a) Nach jedem Zug werden die gezogenen Kugel wieder zurückgelegt; jeder Spieler hat also
immer wieder die gleiche Ausgangssituation. Oder:
b) Die gezogenen Kugeln werden nicht mehr zuück gelegt.
Anonyme Umfragen:
Bei der Durchführung von Umfragen stellt sich immer wieder das gleiche Problem:
Entsprechen die Angaben der Befragten auch tatsächlich der Wahrheit?
Um den Befragten die wahrheitsgemäße Beantwortung der Fragen möglichst zu erleichtern,
wurde folgendes Verfahren entwickelt:
Der Befragte würfelt bei jeder Frage mit einem Würfel; bei einer Zahl von 1 - 5 beantwortet
er die Frage wahrheitsgemäß; bei einer 6 wird die Antwort durch den Zufall (z.B. durch das
Werfen einer Münze) bestimmt. Da der Fragende nicht weiß, ob die Antwort durch Zufall
bestimmt wurde, ist die Anonymität des Befragten gewährleistet.
a) Wenn bei dieser Umfrage 5/6 aller Befragten zugeben, schon einmal betrunken Auto
gefahren zu sein; wie hoch ist dann der tatsächliche Anteil der Befragten, die schon einmal
betrunken Auto gefahren sind?
b) Wie hoch ist der tatsächliche Anteil, wenn bei a) bei einer gewürfelten 6 immer mit “Ja”
geantwortet wird?
c) Wir das Ergebnis genauer, wenn wie bei b) mit “Nein” geantwortet wird?
d) Wie sieht die Sache aus, wenn nach der Anzahl (von 0 - 9, darüber = 9) der Trunkenheits-
fahrten gefragt wird und wie oben entweder wahrheitsgemäß geantwortet wird oder bei einer
geworfenen 6 eine beliebige Zahl (z.B. die letzte Zahl der PIN-Nummer) genannt wird und
die Hälfte der Befragten zugeben, genau zweimal betrunken gefahren zu sein? Wie hoch ist
dann der tatsächliche Anteil der Befragten, welche bereits genau 2 Trunkenheitsfahrten
hinter sich haben?
Das Würfelexperiment:
Wie oft muß man mit einem Würfel im Mittel würfeln, wenn alle Zahlen von 1 - 6 mindestens
einmal geworfen werden sollen?
Einsparung von Untersuchungen:
100 Blutproben sollen untersucht werden. Um die Anzahl der Untersuchungen so gering wie
möglich zu halten wird zuerst jede Blutprobe in zwei Proben A und B aufgeteilt. Die A-Proben
werden zuerst in eine bestimmte Anzahl von Gruppen aufgeteilt, dann werden jeweils alle
A-Proben einer Gruppe zusammengeschüttet. Diese Mischungen werden dann untersucht.
Falls sich eine solche Mischung als positiv herausstellt, müssen die B-Proben aller in dieser
Mischung enthaltenen A-Proben noch einmal einzeln untersucht werden.
a) Wie groß ist die optimale Anzahl von Gruppen, wenn zu erwarten ist, daß 1% aller Proben
positiv sind?
b) Ändert sich die optimale Anzahl, wenn z.B. 5% positive Proben zu erwarten sind?
Die zweite Streichholzschachtel:
Ein Pfeifenraucher besitzt zwei Streichholzschachteln mit je 5 Streichhölzern darin.
Immer wenn er sich eine Pfeife anzünden will, wählt er zufällig eine der beiden Streichholz-
schachteln und nimmt aus dieser ein Streichholz heraus.
a) Wieviel Streichhölzer befinden sich im Mittel in der anderen Schachtel, wenn aus der
gerade gewählten Schachtel das letzte Streichholz entnommen wurde?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die andere Schachtel dann auch leer?
c) Mit welcher W. befindet sich dann in der anderen Schachtel genau 1 Streichholz?
Punkte und Kreise:
Auf einer Ebene befinden sich 10 Punkte; diese Punkte sind so plaziert, daß niemals mehr als
2 Punkte auf einer Geraden und niemals mehr als 3 Punkte auf einem Kreis liegen.
a) Wieviele Kreise können in dieser Ebene gezeichnet werden, wenn jeder Kreis durch genau
3 Punkte der Ebene gehen muß?
b) Wieviele Geraden können in dieser Ebene gezeichnet werden, wenn jede Gerade durch
genau 2 Punkte der Ebene gehen muß?
c) Wieviele Kreise sind es bei 20 Punkten?
d) Wieviele Geraden sind es bei 20 Punkten?
Größte bekannte Primzahl:
Die größte bekannte Primzahl (Stand 01.06.1999) lautet: 26972593 - 1
Wie viele Dezimalstellen hat diese Zahl?
Dynamische Optimierung:
Gegeben sind zwei "magische" Behälter, welche Sand in Gold verwandeln können.
Behälter A verwandelt 'x' Gramm Sand in 'x' gr. Gold und 'x/2' gr. Sand;
Behälter B verwandelt 'x' Gramm Sand in 'x/2' gr. Gold und '(5/6)*x' gr. Sand.
Wieviel Gold kann man aus 100 gr. Sand maximal erzeugen, wenn man den
Sand 5 mal bei jedem Befüllen beliebig auf die Behälter A und B verteilen
darf und jeweils den dabei erzeugten Sand für die nächste Befüllung
verwenden darf?
--- Antworten ---
Rabatt und Mehrwertsteuer
a) Egal
b) auch egal (a*b = b*a)
Wieviel Personen?
Nur ein Mann!
Wieviel Erde?
Genau 0 m3
Welcher Anteil?
Um 1/3
Das Paradoxon vom ersten Zug
Die Alternative b) ist günstiger für den zweiten Spieler, dadurch wird der Vorteil des ersten
Spielers sogar gänzlich aufgehoben; das heißt, beide Spieler haben die gleichen Gewinn-
chanchen!
Anonyme Umfragen
a) 90% der Befragten ( = (a - 0.5*(1 - p))/p)
b) 80% der Befragten ( = (a - (1-p))/p)
c) Nein
d) 58% der Befragten ( = (a - 0.1*(1 - p))/p)
mit a=5/6 (Anteil der Ja-Stimmen) und p=5/6 (W. für richtige Antwort)
Das Würfelexperiment
14.7 Würfe (allgemein: n*(1 + 1/2 + ... + 1/n) für n verschiedene Zahlen)
Einsparung von Untersuchungen
a) Die optimale Anzahl der Gruppen ist 11 mit 19.557 Untersuchungen
(allgemein: Anzahl der U. = (100/k)*((1 - p)^k + (k + 1)*(1 - (1 - p)^k))
mit k: Anzahl der Gruppen und p: W. für positive Probe)
b) Ja!
Die zweite Streichholzschachtel
a) 1.71 Streichhölzer
b) ca. 24.6%
c) ca. 24.6% (2: 21.9%, 3: 16.4%, 4: 9.4%, 5: 3.1%)
(allgemein: W(n Str.) = ((2*N - n)!/((N - n)!*N!))/(2^(2*N - n)),
Anz. Str. = 1*W(1) + 2*W(2) + ... + N*W(N) mit N: Anzahl Str. in jeder Schachtel zu Beginn)
Punkte und Kreise
a) 120 Kreise (10 über 3)
b) 45 Geraden (10 über 2)
c) 1140 Kreise (20 über 3)
d) 190 Geraden (20 über 2)
Größte bekannte Primzahl
2098960 Dezimalstellen (= 6972593*(ln2/ln10))
Dynamische Optimierung
1. 100 g Sand in Behälter B -> 50.0 g Gold + 83.3 g Sand
2. 83.3 g Sand in Behälter B -> 41.7 g Gold + 69.4 g Sand
3. 69.4 g Sand in Behälter B -> 34.7 g Gold +57.9 g Sand
4. 57.9 g Sand in Behälter A -> 57.9 g Gold + 28.9 g Sand
5. 28.9 g Sand in Behälter A -> 28.9 g Gold + 14.5 g Sand
ergibt insgesamt 213.2 g Gold!
|
