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Karls Spielkiste #9
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Die perfekte Suchstrategie
Die Verabredung
Der Wanderer
Das Bohnenproblem
Welche Burg ist die schönste?
Das Pferderennen
Das (3n + 1)-Problem
Wieviele Primzahlen?
Irrational
--- Antworten ---
Die perfekte Suchstrategie:
Ein verlegter Schlüssel soll gesucht werden. Dieser befindet sich mit der Wahrscheinlichkeit
von PK = 40% in der Küche und PW = 60 % im Wohnzimmer. Um die Küche vollständig zu
durchsuchen braucht man TK = 2 Stunden; für das Wohnzimmer jedoch TW = 5 Stunden.
Nimmt man nun an, daß die Wahrscheinlichkeit, den Schlüssel in einem bestimmten Raum zu
finden, mit der Zeit linear ansteigt (je länger man sucht, desto wahrscheinlicher findet man den
gesuchten Gegenstand), so daß zur Zeit t = 0 der Schlüssel noch nicht (p = 0%) und bei einer
Suche bis zur Zeit t = TX der Schlüssel sicher (p = 100%) gefunden wird, so lautet die
allgemeine Formel für das Finden des Schlüssels im Raum X:
pX (t) = t/TX für t <= TX und
pX (t) = 1 für t > TX
So findet man z.B. den Schlüssel bei einer 1 stündiger Suche nur im Wohnzimmer mit der
Wahrscheinlichkeit (tK = 0h; tW = 1h):
p = PK*tK/TK + PW*tW /TW = 0.4*0h/2h + 0.6*1h/5h = 0.12.
Wie lautet die optimale Suchstrategie, wenn für die Suche insgesamt nur 3 Stunden Zeit zur
Verfügung stehen; das heißt: in welcher Reihenfolge und wie lange muß jeweils in den beiden
Räumen gesucht werden, um mit der größtmöglichen Wahrscheinlichkeit den Schlüssel in
einem der beiden Räume zu finden?
Die Verabredung:
Ein vielbeschäftigtes Ehepaar will sich in einem Restaurant zum Abendessen treffen. Sie verab-
reden, daß sie sich zwischen 19.00 Uhr und 20.00 Uhr treffen und daß jeder max. 15 Minuten
im vereinbartem Zeitraum auf den anderen wartet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich beide?
b) Wie sieht es aus, wenn er max. 30 Minuten und sie überhaupt nicht wartet?
Der Wanderer:
Ein Wanderer bricht um 8.00 Uhr in Adorf auf und kommt um 20.00 Uhr in Beheim an. Am
nächsten Tag bricht er wieder um 8.00 Uhr in Beheim auf, läuft den gleichen Weg zurück und
kommt um 20.00 Uhr in Adorf an. Er macht zwischendurch ein paar Pausen und läuft mal etwas
schneller und mal etwas langsamer. Gibt es einen Ort, an welchem er sich an beiden Tagen
zur gleichen Zeit befunden hat?
Das Bohnenproblem:
Gegeben sind eine Urne mit einer unbekannten Anzahl von schwarzen und weißen Kugeln und
eine Kiste mit einer (theoretisch) unbegrenzten Anzahl von schwarzen Kugeln.
Ein Spieler zieht bei jedem Zug zufällig zwei Kugeln aus der Urne. Haben beide Kugeln die
gleiche Farbe, so legt er beide Kugeln beiseite und legt eine schwarze Kugel aus der Kiste in
die Urne. Haben die beiden Kugeln unterschiedliche Farben, so legt er von den beiden
gezogenen Kugeln die schwarze Kugel in die Kiste und die weiße Kugel in die Urne zurück.
Sind in der Urne weniger als zwei Kugeln, so endet das Spiel.
a) In welchem Verhältnis müssen die weißen und schwarzen Kugeln zu Beginn in der Urne
vorhanden sein, damit das Spiel sicher endet?
b) Nach wieveil Zügen endet dann das Spiel im Durchschnitt?
c) Ist die letzte Kugel in der Urne schwarz oder weiß?
Welche Burg ist die schönste?:
Ein Urlauber fährt am letzten Tag seines Urlaubes auf einem Schiff am Rhein entlang und
bewundert die Burgen auf beiden Seiten des Ufers. Von seinem Reiseleiter erfährt er, daß das
Schiff auf dieser Strecke noch genau an acht Burgen vorbei kommt. Da er nur noch Platz für
ein Bild auf seinem Film frei hat; er aber unbedingt die schönste Burg auf dieser Strecke
fotografieren möchte; überlegt er folgendes:
“Ich darf nicht gleich die erste Burg fotografieren. Ich darf aber auch nicht bis zum Schluß
warten. Also schaue ich mir zuerst ein paar Burgen an und fotografiere dann die erste Burg,
die schöner ist als alle vorherigen.”
a) Wieviele Burgen sollte sich der Urlauber vorher anschauen, um mit dieser Strategie mit der
größtmöglichen Wahrscheinlichkeit die schönste Burg zu erwischen?
b) Gibt es eine bessere Strategie?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt er dadurch die schönste Burg?
d) Wie sieht die Sache bei einer beliebigen Anzahl von Burgen aus?
Das Pferderennen:
Zwei Reiter wollen ein Pferderennen veranstalten. Um etwas Abwechslung zu haben, ändern
sie die Wettkampfregeln: Es soll der gewinnen, wessen Pferd als zweiter durch die Zielline geht.
Als der Startschuß fällt bleiben beide einfach stehen und schauen sich ratlos an. Da kommt ein
Wanderer des Weges und gibt den beiden einen Tipp. Plötzlich reiten beide so schnell wie sie
können dem Ziel entgegen. Welchen Tipp hat der Wanderer den beiden Reitern gegeben?
Das (3n + 1)-Problem:
Mit der folgenden Vorschrift sollen Zahlenfolgen erzeugt werden:
Ist eine Zahl gerade, so ist die nächste Zahl die Hälfte der vorherigen Zahl (an+1 = an/2);
ist sie ungerage, so ist die nächste Zahl das 3-fache + 1 der vorherigen Zahl (an+1 = 3*an+1)
Die erste Zahl a0 ist beliebig.
Beispiel: a0 = 25
-> 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52,26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...
Merkwürdigerweise stößt man bei jeder beliebigen Startzahl irgendwann auf die 1!
Warum ist das so? Gibt es eine Startzahl, bei welcher man nicht auf die 1 kommt?
Wieviele Primzahlen?:
Primzahlen (Zahlen, welche nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind) werden in
Richtung größerer Zahlen immer seltener, da es immer mehr mögliche Teiler gibt. Gibt es
deswegen eine größte Primzahl?
Irrational:
Läßt sich die Wurzel aus 2 durch einen Bruch (p/q) aus ganzen Zahlen darstellen oder nicht?
( = ist die Wurzel aus 2 rational oder irrational?)
--- Antworten ---
Die perfekte Suchstrategie
Die perfekte Suchstrategie lautet:
Suche zuerst 2h in der Küche und dann die restliche 1h im Wohnzimmer (tK = 2h; tW = 1h).
p = 0.4*2h/2h + 0.6*1h/5h = 0.52
Allgemein: Suche zuerst in den Räumen mit dem größten Verhältnis PX/TX und suche dort bis
zur Zeit t = TX, solange wie noch Suchzeit übrig ist.
Die Strategie: “Suche zuerst dort, wo sich der gesuchte Gegenstand am wahrscheinlichsten
(größtes PX) befindet” ist nicht immer optimal, wie obiges Beispiel zeigt.
Auch die Strategie: “Suche zuerst dort, wo die Zeit zum Durchsuchen TX am kleinsten ist” ist
nicht immer optimal (wie zum Beispiel bei: PK = 0.9; PW = 0.1; TK = 2h; TW = 0.3h).
Die Verabredung
a) 7/16 (~ 44%)
b) 6/16 (~ 38%)
Der Wanderer
Ja! Wenn man annimmt, daß zwei Wanderer am gleichen Tag wandern, wobei der eine von
Adorf nach Beheim und der andere von Beheim nach Adorf läuft, so müssen sie sich irgend-
wo auf der Strecke treffen!
Das Bohnenproblem
a) Das Spiel endet bei jeder beliebigen Verteilung der Kugeln sicher, da bei jedem Zug zwei
Kugeln aus der Urne entfernt und nur eine Kugel wieder hinein gelegt wird.
b) Immer genau nach n-1 Zügen (n=Anzahl aller Kugeln in der Urne)
c) Die letzte Kugel ist weiß, wenn die Anzahl der weißen Kugeln zu Beginn ungerade ist
und schwarz, wenn die Anzahl der weißen Kugeln gerade ist. Bei jedem Zug werden
entweder keine oder zwei weiße Kugeln entfernt; die Parität der weißen Kugeln bleibt also
bei jedem Zug erhalten!
Welche Burg ist die schönste?
a) Er sollte sich vorher genau drei Burgen anschauen!
b) Mir ist keine bekannt! Wer eine bessere weiß, bitte unbedingt an mich mailen!
c) Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 37% (=1/e).
d) Allgemein: Er sollte sich vorher 1/e (~ 37%) aller Burgen anschauen!
Das Pferderennen
”Tauscht eure Pferde!”
Das (3n + 1)-Problem
Keine Ahnung! Wer die Lösung weiß, bitte unbedingt ein mail an mich schicken!
Unter den ersten 700 Millliarden Zahlen ist keine dabei! :(
Wieviele Primzahlen?
Nein! Gäbe es eine größte Primzahl P, so ließe sich daraus eine neue Zahl
Z = 2*3*5*7*11*13* ... * P + 1
bilden, welche das Produkt aus allen Primzahlen + 1 ist. Diese neue Zahl läßt beim Teilen
durch die im Produkt enthaltenen Primzahlen immer den Rest 1; sie muß also selbst eine
Primzahl sein! -> es gibt keine größte Primzahl!
Irrational
Nein! Wäre die Wurzel aus 2 rational, so ließe sie sich durch einen Bruch p/q aus ganzen
Zahlen darstellen (p und q sind dabei teilerfremd) ->
2 = p2/q2 ->
p2 = 2*q2 -> p muß gerade sein!
durch Substitution p = 2*k ->
(2*k)2 = 2*q2 ->
4*k2 = 2*q2 ->
2*k2 = q2 -> q muß auch gerade sein!
Widerspruch, da p und q teilerfremd sein müssen ->
Wurzel aus 2 ist irrational!
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