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Karls Spielkiste #1
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Das nichttransitive Kartenparadoxon
Paradoxe Mengen
Die Lebensgeschichte
Das Ziegenproblem
Der Spieler-Irrtum
Wahrscheinlichkeiten
Paradoxes
Die unerwartete Prüfung
Hotel Unendlichkeit
Das nichttransitive Würfelparadoxon
Die magischen Würfel
Das magische Quadrat
--- Antworten ---
Das nichttransitive Kartenparadoxon:
Gegeben sind 9 Karten, welche auf 3 Haufen verteilt sind:
Haufen #1: Kreuz As, Kreuz Sechs, Kreuz Acht
Haufen #2: Pik Drei, Pik Fünf, Pik Sieben
Haufen #3: Herz Zwei, Herz Vier, Herz Neun
Die 3 Haufen liegen verdeckt auf dem Tisch. Zwei Spieler spielen gegeneinander, indem
sie sich jeweils für einen Haufen entscheiden und aus dem gewählten Haufen eine Karte
ziehen (da die Haufen verdeckt liegen werden alle 3 Karten eines Haufens mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit gewählt). Der Spieler mit der höheren Karte gewinnt, wobei das As die
niedrigste Karte (Wert=1) ist.
Dabei gilt: Haufen #1 ist besser als #2, #2 besser als #3, #3 aber wieder besser als #1;
jeweils mit der Gewinnwahrscheinlichkeit von 5/9.
(-> zurück)
Paradoxe Mengen:
M sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.
Ist M ein Element von M? (Russellsches Mengenparadoxon)
C sei die Menge aller Mengen.
Wie viele Elemente hat C? (Cantorsches Mengenparadoxon) (-> zurück)
Die Lebensgeschichte:
1. Ein unsterbliches Wesen möchte seine Lebensgeschichte aufschreiben. Es braucht
jeweils 2 Tage, um einen Tag in seinem Leben niederzuschreiben. Einerseits nimmt
die Anzahl der noch nicht beschriebenen Tage ständig zu; andererseits kann aber für
jeden Tag genau der Tag angegeben werden, an dem er beschrieben wird.
Wird das Wesen irgendwann mit seiner Lebensgeschichte fertig?
2. Wie sieht es damit aus: Es ist bereits unendlich viel Zeit vergangen und das Wesen
hat die ganze Zeit an seiner Lebensgeschichte geschrieben. Gerade eben ist es fertig
geworden. Wann hat es mit dem Schreiben der Lebensgeschichte begonnen? (-> zurück)
Das Ziegenproblem:
Gegeben sind 3 Tore, wobei hinter einem Tor eine Ziege steht.
W sei die Wahrscheinlichkeit für “Hinter dem gewählten Tor steht die Ziege”.
Ein Kanidat darf nun ein Tor auswählen.
a) Wie groß ist W?
Der Spielleiter öffnet nun ein Tor, hinter welchem keine Ziege steht (er weiß, hinter
welchem Tor die Ziege steht), so daß nur noch das vom Kanidaten gewählte Tor und noch
ein nicht geöffnetes Tor übrig bleiben.
b) Wie groß ist W jetzt?
Der Spielleiter bietet dem Kanidaten nun an, anstatt sein gewähltes Tor jetzt das
andere, nicht geöffnete, Tor zu wählen.
c) ändert sich W, wenn der Kanidat das andere Tor wählt? (-> zurück)
Der Spieler-Irrtum:
Gegeben sind 3 Karten: (auf Vorder- und Rückseite bedruckt)
Vorderseite Rückseite
Karte 1: Pik As Pik As
Karte 2: Herz As Herz As
Karte 3: Pik As Herz As
Die Karten werden in einen Hut geworfen, woraus der Spieler eine Karte ziehen darf
und diese ohne die andere Seite zu sehen offen auf den Tisch legt. Diese Karte zeigt
ein Herz As. Der Bankhalter schlägt nun folgendes Spiel vor: “Die gezogene Karte kann
nur Karte 2 oder Karte 3 sein; in einem Fall ist das Herz As unten, im anderen Fall ist das
Pik As unten. Ich wette also fünfzig zu fünfzig, daß sich auf der Unterseite ein Herz As
befindet”. Ist dieses Spiel fair?
(-> zurück)
Wahrscheinlichkeiten:
1. Herr und Frau Müller haben bereits vier Töchter. Ein fünftes Kind ist unterwegs. Da die
Wahrscheinlichkeit für 5 mal hintereinander eine Tochter zu bekommen sehr klein ist,
meinen sie nun, daß das Kind nun höchstwahrscheinlich ein Junge wird. Haben sie recht?
2. Herr und Frau Schmidt haben zwei unterschiedlich alte Kinder.
W sei die Wahrscheinlichkeit, daß beide Kinder Mädchen sind.
a) Wie groß ist W?
b) Herr Schmidt verrät: “Ein Kind ist ein Mädchen”. Wie groß ist jetzt W?
c) Frau Schmidt ergänzt: “Das ältere Kind ist ein Mädchen”. Wie groß ist W jetzt?
3. Herr Maier wirft mit vier Münzen. Er überlegt: “Es ist nicht sehr wahrscheinlich,
daß alle 4 Münzen Kopf zeigen. Auch nicht sehr wahrscheinlich ist es, daß alle
4 Münzen Zahl zeigen. Da die Wahrscheinlichkeit für eine Münze fünfzig zu
fünfzig für Zahl und für Kopf beträgt, ist die Verteilung am wahrscheinlichsten,
bei welcher die Anzahl von Kopf gleich der Anzahl von Zahl ist, also 2:2!”
Hat er recht?
(-> zurück)
Paradoxes:
Ein Kreter behauptet: “Alle Kreter lügen!”. Sagt er nun die Wahrheit?
Dieser Satz ist falsch! Ist der vorherige Satz nun richtig oder falsch?
Welcher von beiden folgenden Sätzen ist wahr?
Satz A: Satz B ist falsch!
Satz B: Satz A ist wahr!
Das Gegenteil eines falschen Satzes müßte wahr sein. Wie ist es hiermit:
Dieser Satz enthält sechs Wörter. (falsch)
Dieser Satz enthält nicht sechs Wörter. (auch falsch, obwohl Gegenteil!)
(-> zurück)
Die unerwartete Prüfung:
Ein Lehrer sagt zu seinen Schülern: “Im Laufe der nächsten Sculwoche werde ich eine
Prüfung abhalten; ihr werdet aber nicht wissen, an welchem Tag! Das verspreche ich euch!”.
Ein Schüler überlegt: “Am Freitag kann die Prüfung nicht statt finden, da ich es ja am
Donnerstag schon wüßte. Dann kann auch am Donnerstag keine Prüfung sein, weil ich es am
Mittwoch schon wüßte. Also kann die ganze Woche keine Prüfung sein!”. Unnötig zu
erwähnen, daß der Schüler höchst überrascht war, als am Freitag völlig unerwartet
die Prüfung statt fand.
(-> zurück)
Hotel Unendlichkeit:
Ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern (befindet sich in einem anderen Universum)
ist gerade voll geworden, da kommt noch ein Gast und will ein Zimmer. “Geht nicht!”
meint der Hoteldirektor. “Geht doch: Der Gast in Zimmer 1 zieht um ins Zimmer 2,
der Gast in Zimmer 2 ins Zimmer 3 und so weiter. In das freigewordene Zimmer 1
ziehe ich!” erwidert der Gast.
Am nächsten Tag kommt ein Raumschiff mit unendlich vielen Passagieren (aus einem
anderen Universum) und alle möchten im Hotel übernachten. “Das geht jetzt aber
wirklich nicht!” meint der Hoteldirektor. “Geht doch: Der Gast in Zimmer 1 zieht um
ins Zimmer 2, der Gast in Zimmer 2 ins Zimmer 4 und die anderen Gäste jeweils in das
Zimmer mit der doppelten Zimmernummer. Dadurch werden unendlich viele Zimmer
(mit ungeraden Zimmernummern) frei!” erwidern die Raumschiffpassagiere. (-> zurück)
Das nichttransitive Würfelparadoxon:
Gegeben sind 4 Würfel mit den folgenden Werten:
Würfel 1: 3 3 3 3 3 3
Würfel 2: 4 4 4 4 0 0
Würfel 3: 5 5 5 1 1 1
Würfel 4: 6 6 2 2 2 2
W1 verliert gegen W2 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3,
W2 verliert gegen W3 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3,
W3 verliert gegen W4 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3,
W4 verliert gegen W1 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3.
W4 ist also besser als W3, W3 besser als W2, W2 besser als W1,
W1 ist aber trotzdem besser als W4!
(Aus W4 > W3 und W3 > W2 und W2 > W1 folgt nicht: W4 > W1 !) (-> zurück)
Die magischen Würfel:
Gegeben sind 5 Würfel mit den folgenden Zahlen:
Würfel 1: 345, 741, 642, 543, 840, 147
Würfel 2: 657, 459, 855, 954, 756, 558
Würfel 3: 168, 960, 564, 663, 762, 366
Würfel 4: 179, 773, 278, 377, 872, 971
Würfel 5: 483, 285, 186, 384, 681, 780
Die Summe aller Würfel nach einem Wurf mit allen 5 Würfeln läßt sich mit dieser einfachen
Gleichung relativ schnell ermitteln:
q = Summe der Einerstellen
Summe = (50-q)*100 + q
Beispiel: 345, 459, 564, 377, 681 wurden geworfen.
q = 5+9+4+7+1 = 26
Summe = (50-26)*100 + 26 = 2426.
(-> zurück)
Das magische Quadrat:
Mit dem unterem Zahlenquadrat geht man wie folgt vor:
1. Man wähle eine beliebige nicht markierte Zahl und markiere sie.
2. Alle übrigen Zahlen der gleichen Reihe werden gestrichen
3. Alle übrigen Zahlen der gleichen Spalte werden gestrichen
4. Falls noch unmarkierte und nicht gestrichene Zahlen übrig sind. -> 1.
5. Man bilde die Summe aus allen markierten Zahlen.
Diese Summe beträgt immer 99!
12 26 30 14
17 31 35 19
14 28 32 16
22 36 40 24
(-> zurück)
--- Antworten ---
Paradoxe Mengen
M kann sich selbst nur dann selbst als Element enthalten, wenn es sich nicht selbst
als Element enthält <-> Widerspruch.
Aus der Menge C läßt sich immer wieder die Menge aller Teilmengen aus C bilden,
welche dann als Teilmenge in C enthalten sein müßte <-> Widerspruch.
Die Lebensgeschichte
1) Nein 2) Diesen Tag gibt es nicht!
Das Ziegenproblem
a) 1/3 b) 1/3 c) ja, auf 2/3
Der Spieler-Irrtum
Nein, die Chancen stehen 2:1 für den Bankhalter
Wahrscheinlichkeiten
1. Nein 2.a) 1/4 2.b) 1/3 2.c) 1/2 3. Nein
Paradoxes
alle Sätze sind unentscheidbar!
(-> zurück)
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