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Karls Spielkiste #4
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Die vertauschten Umschläge
In Führung bleiben
Wer hat mehr Schwestern?
Das Geburtstags-Paradoxon
Das Risiko
Die Familienplanung
Das Simpson-Paradoxon
Das “Doomsday”-Argument
Hempels Raben
Die Newcombsche Paradoxie
--- Antworten ---
Die vertauschten Umschläge:
An sieben verschiedene Personen sollen Einladungen verschickt werden. Unglücklicherweise
hat jemand die Umschläge durcheinander gebracht, so daß die Einladungen zufällig auf die
Umschläge verteilt wurden.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen trotzdem alle die richtige Einladung?
b) Mit welcher W. bekommt mindestens eine Person die richtige Einladung?
Zwei Tage später passiert das gleiche Unglück bei 1000 Einladungen an 1000 Personen.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen jetzt alle die richtige Einladung?
d) Mit welcher W. bekommt jetzt mindestens eine Person die richtige Einladung? (-> zurück)
In Führung bleiben:
Zwei Spieler A und B werfen abwechselnd eine Münze. Erscheint Kopf, so bekommt Spieler
A einen Punkt, erscheint Zahl, so bekommt Spieler B einen Punkt. Die Münze wird insgesamt
10 mal geworfen. Nach jedem Wurf muß der Spieler, welcher weniger Punkte hat, die nächste
Runde bezahlen.
Spieler B überlegt: “Da die Münze mit der gleichen Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zeigt,
bekommt auch jeder Spieler im Durchschnitt die gleiche Anzahl von Punkten. Damit muß auch
jeder Spieler im Mittel gleich oft die nächste Runde bezahlen. Also ist das Spiel fair!”
Hat Spieler B recht?
(-> zurück)
Wer hat mehr Schwestern?:
Haben Männer im Durchschnitt mehr Schwestern als Frauen? So haben z.B. in einer Familie
mit genau 4 Buben und 4 Mädchen die Männer 4 und die Frauen nur 3 Schwestern (die
unterschiedlichen Lebenserwartungen und Wahrscheinlichkeiten der Geburt bei Männern
und Frauen sollen dabei vernachlässigt werden). Haben dafür die Frauen mehr Brüder als
die Männer?
(-> zurück)
Das Geburtstag-Paradoxon:
In einem Raum befinden sich 23 Personen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag?
b) Wie ändert sich diese Wahrscheinlich, wenn man annimmt, daß die Geburtstage nicht
gleichmäßig über das ganze Jahr verteilt sind?
(-> zurück)
Das Risiko:
Sie haben 1000 EUR, brauchen aber dringend mindestens 2000 EUR. Dazu wollen Sie beim
Roulette auf einfache Chancen setzen. Wie lautet die optimale Setz-Strategie (viele kleine
Einsätze oder wenige große Einsätze)?
(-> zurück)
Die Familienplanung:
Ein Herrscher möchte den Männeranteil in seinem Volk erhöhen und erläßt dazu folgendes
Gesetz: Jede Familie muß solange Kinder zeugen, bis ein Junge geboren wird!
Wie verändert dieses Gesetz langfristig das Verhältnis Männer - Frauen? (-> zurück)
Das Simpson-Paradoxon:
Zwei Anwälte (Albert und Bernhard) unterhalten sich. “Ich habe diese Woche 2 von insgesamt
3 Prozessen gewonnen!” sagt Albert. Bernhard erwidert: “Bei mir waren es nur 3 gewonnene
von insgesamt 5 Prozessen!”
Eine Woche später unterhalten sich die beiden nocheinmal. “Diese Woche lief es gar nicht gut.
Ich habe nur 4 von 10 Prozessen gewonnen!” jammert Albert. “Bei mir lief es noch schlechter!
Ich habe nur 1 von 3 Prozessen gewonnen!” meint Bernhard dazu.
Albert überlegt nun: “Ich habe letzte Woche (67% : 60%) und diese Woche (40% : 33%)
einen besseren Schnitt als Bernhard erreicht. Also habe ich auch über die letzten beiden Wo-
chen zusammengenommen einen besseren Schnitt erreicht!”. Hat Albert recht? (-> zurück)
Das “Doomsday”-Argument:
Alle Menschen, die monentan leben oder bisher jemals gelebt haben (ca. 100 Milliarden)
werden als eine Stichprobe aller Menschen, welche überhaupt jemals gelebt haben oder in
Zukunft noch leben werden, behandelt. Für den Fall, daß die Welt bald untergeht, ist diese
Stichprobe sehr groß im Vergleich zu allen Menschen, die jemals gelebt haben oder noch
leben werden. Falls aber die Welt erst in ein paar Millionen Jahren untergeht (bis dahin wird
es einige Billiarden Menschen mehr geben, die jemals gelebt haben oder noch leben werden),
ist diese Stichprobe relativ sehr klein. Da ich aber nun zu dieser Stichprobe gehöre, ist es eher
unwahrscheinlich, das diese Stichprobe relativ sehr klein ist; dies bedeutet also, daß ich aus
meiner Existenz auf das baldige Ende dieser Welt schließen kann! (-> zurück)
Hempels Raben:
Wie läßt sich die folgende Hypothese: “Alle Raben sind schwarz!” überprüfen?
Normalerweise indem man sich alle Raben anschaut: Jeder schwarze Rabe bestätigt (beweist)
die Hypothese; jedoch widerlegt ein einzelner Rabe mit einer anderen Farbe als schwarz die
Hypothese.
Wie steht es mit folgender Hypothese: “Alle nichtschwarzen Dinge sind keine Raben!”? Sie
besagt das gleiche wie obige Hypothese, ist aber erheblich einfacher zu bestätigen, da nicht
mehr nach Raben gesucht werden muß. Alles, was Sie sehen (z.B.: ein rotes Auto) und weder
ein Rabe noch schwarz ist, bestätigt die Hypothese, daß alle Raben schwarz sind.
Allerdings bestätigt ein rotes Auto auch die Hypothese: “Alle Raben sind weiß!”. Wie aber
kann ein Rabe zugleich weiß und schwarz sein?
(-> zurück)
Die Newcombsche Paradoxie:
Ein Außerirdischer besucht die Erde und behauptet, er könne die Zukunft vorhersehen.
Zum Beweis macht er einigen Menschen das folgende Angebot:
Hier stehen 2 Schachteln: die linke Schachtel ist durchsichtig und enthält 100 EUR. Die rechte
Schachtel ist undurchsichtig und enthält entweder 1000 EUR oder ist leer. Sie dürfen entweder
beide Schachteln mitnehmen oder nur die rechte Schachtel. Da ich Ihre Entscheidung bereits
kenne, habe ich die rechte Schachtel leer gelassen, wenn Sie sich für beide Schachteln ent-
scheiden und 1000 EUR hineingelegt, wenn Sie sich nur für die rechte Schachtel entscheiden.
Herr Maier überlegt:
“Ich nehme nur die rechte Schachtel, da ich dann sicher 1000 EUR bekomme”
Frau Maier überlegt:
“Der Außerirdische hat seine Entscheidung bereits getroffen. Ich werde also beide Schachteln
nehmen und habe dann entweder nur 100 EUR oder aber 1100 EUR.”
Wer hat nun die bessere Entscheidung getroffen? (-> zurück)
--- Antworten ---
Die vertauschten Umschläge
a) ca. 0,02 % (1/7!)
b) ca. 63,2 %
c) nahezu 0 % (1/1000!)
d) auch ca. 63,2 % ! (nähert sich für große Anzahlen dem Wert: 1 - 1/e) (-> zurück)
In Führung bleiben
Nein, im Gegenteil. Der Fall, daß beide Spieler gleich oft weniger Punkte haben, ist der
unwahrscheinlichste! Der Spieler, welcher nach dem ersten Wurf führt, wird mit der größten
Wahrscheinlichkeit auch während der gesammten 10 Würfe in Führung bleiben!
(-> zurück)
Wer hat mehr Schwestern?
Nein! Männer und Frauen haben im Durchschnitt jeweils gleich viele Schwestern und Brüder!
Bei einer Familie mit zwei Kindern gibt es vier Möglichkeiten:
Anita (w) - Beate (w)
Christine (w) - Albert (m)
Bernhard (m) - Doris (w)
Christian (m) - Daniel (m)
Hier haben Christian und Daniel sowie Doris und Christine jeweils keine Schwester; Bernhard
und Albert sowie Anita und Beate haben jeweils eine Schwester! Also haben sowohl die
Männer als auch die Frauen im Durchschnitt jeweils 1/2 Schwester! Analog gilt dies auch für
Familien mit mehreren Kindern. (-> zurück)
Das Geburtstags-Paradoxon
a) 50,7 % (allgemeine Formel: W = 1 - (365! / ((365-n)!*365^n)))
b) Die Wahrscheinlichkeit wird größer! (-> zurück)
Das Risiko
Alles auf einmal setzen! Bei unfairen Spielen verliert man im Mittel bei jedem Spiel einen
gewissen Betrag; deshalb sollte man möglichst wenige Spiele mitmachen. Bei fairen Spielen
ändert die Setzstrategie nichts an der Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Gewinn zu
erzielen; es dauert jedoch länger, wenn man immer nur kleine Beträge setzt! (-> zurück)
Die Familienplanung
Gar nicht! Der Anteil von (J)ungen und (M)ädchen bleibt bei der Befolgung des Gesetzes für
jede Anzahl von Kindern ausgewogen!
1.Kind: 2.Kind: 3.Kind: ...
1/2 J
1/2 M -> 1/4 J
“ - 1/4 M -> 1/8 J
“ “ - 1/8 M ... (-> zurück)
Das Simpson-Paradoxon
Nein! Albert hat insgesamt 6 von 13 Prozessen (ca. 46%) gewonnen, während Bernhard 4 von
8 Prozessen (= 50%) gewonnen hat. (-> zurück)
Hempels Raben
Die Hypothese “Alle Raben sind schwarz!” kann nie vollständig bewiesen werden; sie kann
jedoch solange als wahr angenommen werden, bis sie durch ein Gegenbeispiel widerlegt wird.
Auch die Gegenhypothese kann nie vollständig bewiesen werden. (-> zurück)
Die Newcombsche Paradoxie
Diese Angebot ist ein Indikator für den Glauben an einen freien Willen; alle die daran glauben,
werden sich für beide Schachteln entscheiden, die anderen, welche nicht daran glauben, werden
sich nur für die rechte Schachtel entscheiden. (-> zurück)
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